4.3 函数可积性

1．证明下列结论．
（1）试述大小和的概念，并证明分割加细，大和不增，小和不减．
（2）若 $\displaystyle T^{\prime}$ 是 $\displaystyle T$ 增加若干分点后所得的分割，则 $\displaystyle \sum_{T^{\prime}} \omega_{i}^{\prime} \Delta x_{i}^{\prime} \leqslant \sum_{T} \omega_{i} x_{i}$ ．

2．证明：Dirichlet 函数在任何区间 $\displaystyle [a, b]$ 的 Riemann 积分不存在．

3．叙述函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积的定义，并据此证明：函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in \mathbf{Q}, \\ -1, x \notin \mathbf{Q}\end{array}, \mathbf{Q}\right.$ 是有理数集，在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上不可积．

4．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界，$\displaystyle \left\{a_{n}\right\} \subset[a, b], \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=c$ 。证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上只有 $\displaystyle a_{n}(n=1,2, \cdots)$为其间断点，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（2）在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上，函数 $\displaystyle f(x)$ 定义为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right], x \in(0,1], \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的 Riemann 可积性．
（3）利用可积的充要条件证明 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x=0, \\ \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}<x<\frac{1}{n},\end{array} \quad n=1,2, \cdots\right.$, 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．

5．定义函数如下：$\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}, q>0, p, q \text { 是互质整数，}(0 \leqslant x \leqslant 1) \text { ，证明：} \\ 0, x=0,1 \text { 及无理数，}\end{array}\right.$
（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0$ ；
（2）函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 中的无理数点处连续，而在 $\displaystyle [0,1]$ 中的有理数点处不连续．
（3）讨论函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的可积性．
）

6．证明下列结论。
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内连续，那么 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内 Riemann 可积．
（2）已知有限闭区间上的连续函数在该区间上是可积的．现假设有一函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，有界，有唯一间断点 $\displaystyle a(f(x)$ 在其余点连续）。试根据函数可积条件证明函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可积．
（3）假设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上为单调函数，试证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．

提示：见华东师大《数学分析》．

7．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 均为定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的有界函数。证明：若仅在 $\displaystyle [a, b]$ 中有限个点处 $\displaystyle f(x) \neq g(x)$ ，则当 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积时，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也可积，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）证明：符号函数在 $\displaystyle [-1,1]$ 上是可积的，但在 $\displaystyle [-1,1]$ 上不存在原函数．

8．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上黎曼可积，用可积准则证明：$\displaystyle f^{2}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上也是黎曼可积．
（2）若 $\displaystyle \sqrt{f(x)}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可积，则 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可积．

9．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界，讨论 $\displaystyle f(x),|f(x)|, f^{2}(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 的可积性之间的

关系．

10．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界，记 $\displaystyle f^{+}(x)=\max \{f(x), 0\}, f^{-}(x)=\max \{-f(x), 0\}$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积的充分必要条件是 $\displaystyle f^{+}(x), f^{-}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上均可积，并且

$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f^{+}(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{b} f^{-}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$

11．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 有连续导数，求证：$\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{f(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也是黎曼可积的．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，$\displaystyle f(x) \geqslant c \geqslant 0$ ，用可积准则证明：函数 $\displaystyle \ln f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积．（华 中 师 大 2005）

12．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) g\left(\theta_{i}\right) \Delta x_{i}=\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle T$ 为 $\displaystyle [a, b]$的任一分割，$\displaystyle T: a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b, \xi_{i}, \theta_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right], i=1,2, \cdots, n, \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},\|T\|=\max _{1 \leqslant i<n}\left\{\Delta x_{i}\right\}$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) g\left(\frac{i-1}{n}\right) \Delta x_{i}=\int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．

13．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上 Riemann 可积，且对 $\displaystyle [0,1]$ 上任何有限个两两不交的闭区间 $\displaystyle \left[a_{i}, b_{i}\right]$ ， $\displaystyle 1 \leqslant i \leqslant n$ ，都有 $\displaystyle \left|\sum_{i=1}^{n} \int_{a_{i}}^{b_{i}} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant 1$ 。求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant 2$ ．

14．给出 Riemann 积分 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 的定义，并确定实数 $\displaystyle s$ 的范围使下列极限收敛 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{i}{n}\right)^{s} \frac{1}{n}$ ．

15．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 R 可积，因此 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在连续的函数 $\displaystyle f_{\varepsilon}(x)$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x)-f_{\varepsilon}(x)\right| \mathrm{d} x<\varepsilon$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 R 可积，证明存在 $\displaystyle [a, b]$ 上的多项式函数列 $\displaystyle \varphi_{n}(x)(n=1,2, \cdots)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。

16．举例．
（1）举一个 Riemann 不可积的函数．
（2）举例说明 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积时，下面的等式不一定成立．

$$
\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x . \text { }
$$

17．判断题．
（1）定义 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积时，必须先假定 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．